2025-05-27 17:24:53
公众号：考研数学基础
应用场景
准研究生们，你们好！
考研数学中，反常积分的计算难度不会很大，我们掌握常用的方法即可。本文一方面给出了反常积分计算的各种方法，另一方面，对于每个方法也给出了相应的例题，相应阅读完本文后，反常积分的计算对你来说将会是轻车熟路！
概念说明
1.首先，对于反常积分而言，使得被积函数无界的点称为瑕点，瑕点和+∞，-∞统称为反常积分的奇点。
其次，对于反常积分的计算，我们首先要能识别出是反常积分。对于无穷区间上的反常积分，奇点一目了然，就是+∞，或者-∞，看积分上下限即可。
相比而言，无界函数的反常积分的奇点则相对不那么容易发现，可能的奇点有：端点，区间内部的点。如下面例子：
我们尤其要注意奇点在区间内部的情况，因为奇点在端点处，即使我们没有发现。但当计算时，代入积分上下限就会发现奇点。但是若奇点在区间内部，我们没发现，则往往导致计算错误！
2.能识别出反常积分后，接下来就是计算了。文章开头给出的就是基本计算思路：
(1)首先，只有当区间内部有使得函数无界的点(区间内的瑕点)时，我们才从该点处把反常积分拆开。这和反常积分敛散性的判别有所不同！
(2)通过凑微分法，换元法，分部积分法和有理函数积分法，并结合基本积分公式，算出拆开后的每个积分即可(代入积分上下限时，取不到的点取极限)。
3.用基本积分公式算反常积分
3.用凑微分法算反常积分
上述过程，在计算反常积分时，也达到了判别反常积分敛散性的目的。
4.用换元法算反常积分
上面的换元法将反常积分转化为了定积分，这只有在反常积分收敛的情况下才有可能。
5.用分部积分法算反常积分
我们用分部积分法，建立了递推式，继而用递推关系，求出了反常积分。
通过上面的例子可知，如果被积函数含有某个函数的n次方，可以考虑用分部积分法，求出递推式，进而算出积分。
6.有理函数的反常积分
记忆方法
本节的内容可以用下面的口诀简单概括。
内部瑕点要小心：注意无界函数的反常积分的瑕点在积分区间内部的情况。
遇到首先要拆分：遇到瑕点在区间内部，首先从瑕点处拆开。
常用不定积分法：计算反常积分主要用的就是不定积分的四大积分法。
单侧极限也能行：找到原函数代入时，无定义的点，用极限来算(本质上用的是推广的牛顿-莱布尼茨公式)。
回眸一笑
变限积分的计算你还记得吗？
如果你了然于胸，就为今天的收获开心地笑一个！
如果忘了，就赶快去看前面的文章，巩固一下吧！
考研杂谈
考研数学的复习中，反常积分的计算不会太难，但却很有意思。如从1到+∞，对1\x做积分，结果是+∞；而从1到+∞，对1\x^{2}做积分,结果却是1。我们可能会想，不就是相差一个1\x嘛，怎么结果差别这么大?我们知道，积分的本质是求和，而在1到+∞这个无穷区间上求和，微小的差别经过无穷累加，就会有量到质的改变。就好像，两个考研学子X和Y，今天X比Y多学点没什么，但是若是每一天X都比Y多学那么多，日积月累，就会产生巨大的差别！这便是反常积分带给我们的启示！
今日例句：
She will find a way to survive.
