2025-06-05 17:16:46
公众号：考研数学基础
应用场景
准研究生们，你们好！
考研数学中，微分学的几何应用，研究的是函数的性态，如极值，最值，拐点，单调性，凹凸性，渐近线等。而积分学的几何应用，主要包括：面积体积平均值，弧长形心侧面积。且弧长形心测面积，是数学一，数学二才会考的考点。对于积分学的几何应用，我们做到两个正确即可，即“公式正确，计算正确”，而且考研重点考察的是计算。
公式说明
1.积分学的应用，离不开微元法。我们对微元法做如下说明：
对于上面的步骤，我们换一个角度来看：
根据上述步骤，我们抽象出微元法的使用步骤：
2.用微元法推导平面图形的面积公式
(1)直角坐标系下平面图形的面积公式
(2)极坐标系下平面图形的面积公式
3.求直角坐标系下平面图形的面积
例：设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域，求D的面积。
4.求极坐标系下平面图形的面积
例：求伯努利双纽线r^{2}=a^{2}cos2θ围成的图形的面积。
5.求参数方程下平面图形的面积
参数方程下的面积公式，是由直角坐标系下的面积公式换元得到。至于换元时，为什么y(x)直接用y(t)代替。
可以简单的令x=2t,y=3t,则表示成y对x的函数为y=3t=3*(x/2)=3x/2。则y=3x/2对应y=y(x)；y=3t对应y=y(t)，由y=3t=3*(x/2)=3x/2，可知y(x)=y(t)。
即参数方程下的面积公式，由直角坐标系下的面积公式换元得到，且换元时被积函数直接代入。
记忆方法
本节中的面积公式，我们只需要理解微元法，然后求面积时，运用微元法即可迅速推出面积公式，不用专门记忆。
回眸一笑
反常积分怎么计算你还记得吗？
如果你了然于胸，就为今天的收获开心地笑一个！
如果忘了，就赶快去看前面的文章，巩固一下吧！
考研杂谈
考研数学的复习中，要记的东西很多。我们必须要明确，能理解记忆的一定要理解记忆，实在没有办法，再去死记硬背。
如本节中的面积公式，我们只要理解了微元法和定积分的定义，则可以迅速且轻松地推出面积公式。而且由于我们知道了公式是怎么来的，相信经过几次简单的推导，后面自然就记住了。毕竟，死记硬背是下策。不假思索的死记硬背，必然会加重我们的记忆负担！
今日例句：
The boys refuse to be separated.
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