2025-06-18 16:05:39
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2021年量子力学考研真题精解精析50题
1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为
。假设粒子间有相互作用
，其中
分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。
（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；
（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同）
[浙江大学2014研]
【解题思路】
①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。
【解析】
（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量
由薛定谔方程
得本征能量为
本征波函数为
两粒子间有相互作用
设
因此
即
所以
因为
所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。
因为
，所以体系基态选择
，因此体系坐标部分的波函数为
满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即
所以体系的基态波函数为
基态能量为
（2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为
，所以体系基态选择n1＝n2＝1。因此体系坐标部分的波函数为
满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即
所以体系的基态波函数为
基态能量为
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来源：才聪学习网
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